Question

已知為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng) 時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查思維能力、運(yùn)算能力和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.第一問，考查求導(dǎo)求極值問題；第二問，是恒成立問題，將第一問的代入，整理表達(dá)式，得出，構(gòu)造函數(shù)，下面的主要任務(wù)是求出函數(shù)的最小值，所以；第三問，是不等式的證明，先利用放縮法構(gòu)造出所證不等式的形式，構(gòu)造數(shù)列，利用累加法得到所證不等式的左邊，右邊利用裂項(xiàng)相消法求和，再次利用放縮法得到結(jié)論.

試題解析：（1）由題意，,所以        2分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值．

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

所以，得．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．         4分

（2）由得，令，

則．                            6分

令，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923453314318383/SYS201310292346392698501874_DA.files/image030.png">所以,故在上單調(diào)遞增．        8分

所以,從而

在上單調(diào)遞增,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．                     10分

（3）由(2) 知恒成立,

即          12分

令則，        14分

所以， ，  ,．

將以上個(gè)式子相加得：，

故．                16分

考點(diǎn)：1.函數(shù)極值的求法；2.恒成立問題；3.求函數(shù)的最值；4.放縮法；5.裂項(xiàng)相消法.