Question

已知命題p：

x2

k

+

y2

4-k

=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，命題q：（k-1）x²+（k-3）y²=1表示雙曲線(xiàn)．若p和q有且僅有一個(gè)正確，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：若 p正確q不正確，∴

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，若 q正確p不正確∴

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，分別求出k的取值范圍，再取
并集，即為所求．

解答：解：當(dāng)p正確時(shí)，k＞4-k＞0，即2＜k＜4．
當(dāng)q正確時(shí)，（k-1）（k-3）＜0即1＜k＜3．
由題設(shè)，若p和q有且只有一個(gè)正確，則
（1）若 p正確q不正確，∴

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，∴3＜k≤4．
（2）若 q正確p不正確∴

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，∴1＜k≤2．
∴綜上所述，若p和q有且僅有一個(gè)正確，k的取值范圍是k∈（1，2]∪（3，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，得到
p正確q不正確時(shí)有

2＜k＜4 k≤1或k≥3

，q正確p不正確時(shí)有

k≤2或k＞4 1＜k＜3

，是解題的關(guān)鍵．