Question

（2009•越秀區(qū)模擬）已知{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，它的前9項(xiàng)和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足等式：an=

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

（n為正整數(shù)），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)數(shù)列前9項(xiàng)和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．列出方程組，求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用an=

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

，寫(xiě)出n+1的表達(dá)式，求出b_n的通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）設(shè)a_n=a₁+（n-1）d   d≠0，則

9a1+ 9×8 2 d=90 (a1+d)(a1+7d)=  (a1+3d)2

即

a1+4d=10 a1=d

，解得a₁=2，d=2．
所以a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）解：由（1）得，

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

=2n ①，
當(dāng)n≥2時(shí)，

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn-1

3n-1

=2(n-1) ②，
由①-②得，

bn

3n

=2，所以b_n=2•3ⁿ．n≥2．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=3a₁=6也適合上式，所以b_n=2•3ⁿ．n為正整數(shù)．
因?yàn)?span id="zgmvxnd" class="MathJye">

bn+1

bn

=

2•3n+1

2•3n

=3，所以{b_n}是首項(xiàng)為b₁=6，公比為3的等比數(shù)列，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=

6(1-3n)

1-3

=3ⁿ⁺¹-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列是等比數(shù)列的判斷，數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查計(jì)算能力，注意驗(yàn)證數(shù)列的首項(xiàng)是否滿足題意．