Question

如圖ABCD正方形，邊長為1，EC⊥平面ABCD，EC∥AF，且λEC=AF（λ＞1），
（1）證明：BD⊥EF
（2）若EC=1，求二面角B-EF-C平面角的取值范圍；
（3）設(shè)G是△BDF的重心，試問，是否有可能EG⊥平面BDF，若能求出EC的最小值，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出兩條直線所在的向量，利用向量的數(shù)量積等于0可得兩條直線垂直．
（2）分別求出兩個平面的發(fā)行量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出向量的夾角的余弦值進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角的余弦值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出余弦值的范圍進(jìn)而轉(zhuǎn)化為平面角的取值范圍，即可得到答案．
（3）應(yīng)該先假設(shè)EG⊥平面BDF，則得到一個關(guān)于CE長度的表達(dá)式，然后利用函數(shù)球最值的方法求出CE的最小值．
解答：解：（1）方法一：如圖建立坐標(biāo)系，B（1，0，0），D（0，1，0），
設(shè)E（1，1，h），那么F（0，0，λh），
所以，
所以BD⊥EF．
（2），，則面BEF得法向量，平面EFC的法向量是
所以
記，
所以
所以f（λ）在（1，2）是增函數(shù)，在（2，+∞）是減函數(shù)，
所以，，而
所以，
所以，
二面角B-EF-C平面角的取值范圍是
（3）B（1，0，0），D（0，1，0），E（1，1，h），F(xiàn)（0，0，λh），
所以，，，∴，
若EG⊥平面BDF，則
得，
所以當(dāng)時(shí)，EG⊥平面BDF
此時(shí)，所以
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便建立坐標(biāo)系進(jìn)而利用向量求出有關(guān)問題的表達(dá)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者函數(shù)解析式的特征求其最值即可．