Question

如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°．
（I）求證：EF⊥平面BCE；
（II）設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求證：PM∥平面BCE．

Answer 1

分析：（I）要證EF⊥平面BCE，只需證明BC⊥EF，EF⊥BE，說明BC，EB是平面BCE內(nèi)的相交直線即可．
（II）線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN，PM∥CN．CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，即可證明PM∥平面BCE．

解答：證明：（I）因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，又因為∠AEF=45，所以∠FEB=90°，即EF⊥BE．
因為BC?平面ABCD，BE?平面BCE，BC∩BE=B
所以 EF⊥平面BCE；   …（7分）
（II）取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN，則MN=

1

2

AB=PC，且MN∥

1

2

AB∥PC
∴PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．
∵CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，
∴PM∥平面BCE．…（14分）

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查直線與平面的平行，直線與平面垂直，的證明方法，注意定理條件的正確應(yīng)用，考查空間想象能力．