Question

已知函數(shù)f（x）=

3

asinxcosx-a（cosx）²+b（a＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設x∈[0，

π

2

]，f（x）的最小值是-1，最大值是2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：函數(shù)解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的值域，表示出函數(shù)的最小值與最大值，列出關于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．

解答：解：f（x）=

3

2

asin2x-

a

2

（1+cos2x）+b=a（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）+b-

a

2

=asin（2x-

π

6

）+b-

a

2

，
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
則函數(shù)的最小正周期為π，單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）_min=-

1

2

a+b-

a

2

=b-a=-1，f（x）_max=a+b-

a

2

=b+

a

2

=2，
解得：a=2，b=1．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．