Question

（2013•楊浦區(qū)一模）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分別是BC、AP的中點，
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）若異面直線AB與ED所成角的大小為θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）三棱錐P-ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分別是BC、AP的中點，知AC=2，AB=2

3

，由此能求出三棱錐P-ABC的體積．
（2）取AC中點F，連接DF，EF，則AB∥DF，所以∠EDF就是異面直線AB與ED所成的角θ，由此能求出tanθ．

解答：解：（1）三棱錐P-ABC中，
∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分別是BC、AP的中點，
∴AC=2，AB=2

3

，…（2分）
所以，體積V_P-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

8 3

3

．…（5分）
（2）取AC中點F，連接DF，EF，則AB∥DF，
所以∠EDF就是異面直線AB與ED所成的角θ．…（7分）
由已知，AC=EA=AD=2，AB=2

3

，PC=2

5

，
∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…（10分）
在Rt△EFD中，DF=

3

，EF=

5

，
所以，tanθ=

15

3

．…（12分）

點評：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．