Question

已知點(diǎn)F是雙曲線x2-

y2

2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l交雙曲線于兩點(diǎn)P、Q，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有（　　）

A．四條

B．三條

C．兩條

D．一條

Answer 1

分析：當(dāng)直線l與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|最小為實(shí)軸長(zhǎng)2a=2，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有兩條，當(dāng)直線l與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|最小為通徑長(zhǎng)

2b2

a

=4，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有1條，數(shù)形結(jié)合即可

解答：解：如圖：當(dāng)直線l與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|最小為實(shí)軸長(zhǎng)2a=2，
當(dāng)直線l與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|最小為通徑長(zhǎng)

2b2

a

=4
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，若|PQ|=4，則當(dāng)直線l與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這樣的直線l可有兩條，當(dāng)直線l與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這樣的直線l只有1條，所以若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有3條
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，特別是直線與雙曲線相交時(shí)弦長(zhǎng)的幾何性質(zhì)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注意積累一些結(jié)論，對(duì)解決此類選擇題很有好處