Question

已知圓的方程x²+y²=25，點(diǎn)A為該圓上的動點(diǎn)，AB與x軸垂直，B為垂足，點(diǎn)P分有向線段BA的比λ=

3

2

．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程并化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式；   
（2）寫出軌跡的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)和A點(diǎn)坐標(biāo)，利用定比分點(diǎn)公式把A的坐標(biāo)用P的坐標(biāo)表示，代入圓的方程后可得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）由橢圓方程得到長半軸和短半軸，從而得到半焦距，則答案可求．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（x₁，y₁），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（x₁，0），
∵點(diǎn)P分有向線段BA的比λ=

3

2

，
∴

x=x1 y= 0+ 3 2 y1 1+ 3 2

，∴

x1=x y1= 5 3 y

，
又點(diǎn)A在圓x²+y²=25上，∴x²+

25

9

y2=25，
即

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）；
（2）由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，知a²=25，b²=9，
∴c=4，則橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-4，0），（4，0），準(zhǔn)線方程是x=±

a2

c

=±

25

4

．

點(diǎn)評：本題考查了代入法求軌跡方程，訓(xùn)練了定必分點(diǎn)公式的用法，是中檔題．