Question

如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線在軸上的截距為，交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；   

（2）求m的取值范圍；  

（3）求證直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）設(shè)橢圓方程為

則                       2分

  ∴橢圓方程                            4分

（2）∵直線l平行于OM，且在軸上的截距為m

又      ∴l(xiāng)的方程為：

由       6分

∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn)，

∴m的取值范圍是            9分

（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁＋k₂=0即可

設(shè)

可得            11分

而

                   13分

∴k₁＋k₂=0

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

【解析】略