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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.
          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)若直線l1:x=m(|m|>1),P為l1上的動(dòng)點(diǎn),使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示).
          分析:(Ⅰ)先橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4求得a,根據(jù)|MA1|:|A1F1|=2:1求得c,最后根據(jù)b=
          a2-c2
          求得b.橢圓的方程可得.
          (Ⅱ)設(shè)P(m,y0),|m|>1,依題意可知只需求tan∠F2PF2的最大值即可.設(shè)出直線PF1和PF2的斜率可表示出tan∠F1PF2,根據(jù)y0的范圍進(jìn)而確定tan∠F1PF2的范圍,進(jìn)而可求得∠F1PF2最大時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0),半焦距為c,則|MA1|=
          a2
          c
          -a,|A1F1|=a-c.
          由題意,得
          a2
          c
          -a=2(a-c)
          2a=4
          a2=b2+c2
          ∴a=2,b=
          3
          ,c=1.故橢圓方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1.

          (Ⅱ)設(shè)P(m,y0),|m|>1,
          當(dāng)y0=0時(shí),∠F1PF2=0;
          當(dāng)y0≠0時(shí),0<∠F1PF2<PF1M<
          π
          2
          ,
          ∴只需求tan∠F2PF2的最大值即可.
          設(shè)直線PF1的斜率k1=
          y0
          m+1
          ,直線PF2的斜率k2=
          y0
          m-1
          ,
          ∴tan∠F1PF2=|
          k2-k1
          1+k1k2
          |=
          2|y0|
          m2-1+y02
          2|y0|
          2
          m2-1
          •|y0|
          =
          1
          m2-1

          當(dāng)且僅當(dāng)
          m2-1
          =|y0|時(shí),∠F1PF2最大,∴Q(m,±
          m2-1
          )|m|>1.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系.圓錐曲線問(wèn)題的綜合考查是歷年來(lái)高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,應(yīng)作為重點(diǎn)來(lái)復(fù)習(xí).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
          (1)求橢圓的方程;
          (2)求m的取值范圍;
          (3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
          3
          2
          ,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1).直線l:y=x+m交橢圓于A,B兩不同的點(diǎn).
          (1)求橢圓的方程;
          (2)當(dāng)|AB|=
          12
          5
          2
          時(shí),求m的值;
          (3)若直線l不過(guò)點(diǎn)M,求證:直線MA,MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,
          2
          ),且離心率為
          3
          2

          ( I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          ( II)過(guò)點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P、Q,點(diǎn)N在線段PQ上.設(shè)
          |
          MP
          |
          |
          PN
          |
          =
          |
          MQ
          |
          |
          NQ
          |
          =λ,試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•馬鞍山二模)如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),直線l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)(A、B與M不重合).
          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)當(dāng)MA⊥MB時(shí),求m的值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案