Question

以下關(guān)于圓錐曲線的四個(gè)命題：
①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；
②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓（點(diǎn)A除外）；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④到定點(diǎn)（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線．
其中真命題的序號(hào)為

②③

（寫(xiě)出三友真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：命題①利用舉反例加以說(shuō)明；
命題②設(shè)出定圓的方程，利用代入法分析可知AB中點(diǎn)P的軌跡為圓（除去A點(diǎn)）；
命題③求出方程的兩根即可得到答案；
命題④利用舉反例的辦法加以判斷．

解答：解：對(duì)于①，若|k|＞|AB|，則滿足|

PA

|-|

PB

|=k的動(dòng)點(diǎn)P在實(shí)平面內(nèi)不表示任何圖形，∴①不正確；
對(duì)于②，設(shè)定圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，點(diǎn)A（m，n），P（x，y），
由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，可知P為AB的中點(diǎn)，則B（2x-m，2y-n），∵AB為圓的動(dòng)弦，所以B在已知圓上，
把B的坐標(biāo)代入圓x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，當(dāng)B與A重合時(shí)AB不是弦，∴點(diǎn)A除外，∴②正確；
對(duì)于③，方程2x²-5x+2=0的兩根分別為

1

2

和2，∴方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率正確；
對(duì)于④，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由題意知，x軸負(fù)半軸（含原點(diǎn)）上的點(diǎn)都滿足到定點(diǎn)（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，∴④不正確．
所以正確的命題是②③．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線及雙曲線的定義，考查了命題的真假的判斷，要說(shuō)明一個(gè)命題為真，需要嚴(yán)格的證明，要說(shuō)明命題是假命題，只要舉一個(gè)反例即可，此題屬中檔題．