Question

已知圓的半徑為r,周長為2πr,我們能否利用定積分的知識來求其面積呢?

圖1-6-1

Answer 1

思路:在求曲邊梯形的面積時,我們發(fā)現(xiàn)當區(qū)間的劃分很細時,每個小矩形是一小窄條,當Δx_i→0時,小窄條趨近于曲邊梯形在此處的高線,此高線的長度是該處的函數(shù),變化著的高線從a掃到b,掃過的平面部分就是曲邊梯形(如圖1-6-1).所以,定積分可以理解為函數(shù)值f(x)從a到b的無限疊加.我們把這種思想用于求圓的面積.

圖1-6-2

探究:如圖1-6-2,將半徑n等分,各圓環(huán)的面積依次近似于2π,i=1,2,…,n.

圓面積S=所有圓環(huán)面積之和≈=I.

I=2πr²·(1+2+…+n)=2πr².

當n→∞時,S→πr².

由定積分可知,S==πr².

由此看出圓面是圓周從半徑為0到半徑r掃過的平面部分,換言之,圓面積是圓周長2πx(x從0到r)的無限疊加.