Question

拋物線的方程是y²=2x，有一個(gè)半徑為1的圓，圓心在x軸上運(yùn)動(dòng)問(wèn)這個(gè)圓運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，圓與拋物線在交點(diǎn)處的切線互相垂直？（注：設(shè)P（x₀，y₀）是拋物線y²=2px上一點(diǎn)，則拋物線在P點(diǎn)處的切線斜率是

P

y0

）．

Answer 1

分析：設(shè)出圓的方程，再設(shè)圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為P進(jìn)而可求得在P點(diǎn)圓半徑的斜率和在P點(diǎn)拋物線的切線斜率的表達(dá)式，根據(jù)在P點(diǎn)拋物線的切線與圓的切線垂直，必須且只須圓的半徑與拋物線在P點(diǎn)相切進(jìn)而建立等式，把P點(diǎn)代入拋物線方程和橢圓方程，聯(lián)立方程組可求得k，則圓的方程可得．

解答：解：設(shè)圓的方程為（x-k）²+y²=1
再設(shè)圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為P（x₀，y₀）
在P點(diǎn)圓半徑的斜率=

y0

x0-k

．
在P點(diǎn)拋物線的切線斜率=

1

y0

在P點(diǎn)拋物線的切線與圓的切線垂直，必須且只須圓的半徑與拋物線在P點(diǎn)相切，
∴

1

y0

=

y0

x0-k

．（1）
因P（x₀，y₀）是圓與拋物線的交點(diǎn)，
∴y₀²=2x₀．（2）
（x₀-k）²+y₀²=1．（3）
由（1）、（2）式消去y₀，得x₀=-k，
將（2）代入（3），得（x₀-k）²+2x₀-1=0，
將x₀=-k代入，得4k²-2k-1=0，
∴k=

1± 5

4

．
由于拋物線在y軸的右方，所以k=-x₀≤0
故根號(hào)前應(yīng)取負(fù)號(hào)，即k=

1- 5

4

．故所求圓的方程為(x-

1- 5

4

)2+y2=1．
故圓心是（

1- 5

4

，0）時(shí)圓與拋物線在交點(diǎn)處的切線互相垂直

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．解此類題應(yīng)充分發(fā)揮判別式和韋達(dá)定理在解題中的作用．靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想解題．