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        1. (2013•陜西)已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.
          (Ⅰ) 若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖象相切,求實(shí)數(shù)k的值;
          (Ⅱ) 設(shè)x>0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m>0)公共點(diǎn)的個數(shù).
          (Ⅲ) 設(shè)a<b,比較
          f(a)+f(b)
          2
          f(b)-f(a)
          b-a
          的大小,并說明理由.
          分析:(I)先求出其反函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可;
          (II)由f(x)=mx2,令h(x)=
          ex
          x2
          (x>0)
          ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x)的單調(diào)性即可得出;
          (III)利用作差法得 
          f(a)+f(b)
          2
          -
          f(b)-f(a)
          b-a
          =
          (b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)
          2(b-a)
          =
          (b-a+2)ea+(b-a-2)eb
          2(b-a)
          =
          (b-a+2)+(b-a-2)eb-a
          2(b-a)
          ea
          ,令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明.
          解答:解:(I)函數(shù)f(x)=ex的反函數(shù)為g(x)=lnx,∴g(x)=
          1
          x

          設(shè)直線y=kx+1與g(x)的圖象相切于點(diǎn)P(x0,y0),則
          g(x0)=
          1
          x0
          =k
          kx0+1=lnx0
          ,解得x0=e2,k=e-2,
          ∴k=e-2
          (II)當(dāng)x>0,m>0時,令f(x)=mx2,化為m=
          ex
          x2
          ,
          令h(x)=
          ex
          x2
          (x>0)
          ,則h(x)=
          ex(x-2)
          x3
          ,
          則x∈(0,2)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;x∈(2,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
          ∴當(dāng)x=2時,h(x)取得極小值即最小值,h(2)=
          e2
          4

          ∴當(dāng)m∈(0,
          e2
          4
          )
          時,曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點(diǎn)的個數(shù)為0;
          當(dāng)m=
          e2
          4
          時,曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點(diǎn)的個數(shù)為1;
          當(dāng)m>
          e2
          4
          時,曲線y=f (x) 與曲線y=mx2(m>0)公共點(diǎn)個數(shù)為2.
          (Ⅲ) 
          f(a)+f(b)
          2
          -
          f(b)-f(a)
          b-a
          =
          (b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)
          2(b-a)

          =
          (b-a+2)ea+(b-a-2)eb
          2(b-a)

          =
          (b-a+2)+(b-a-2)eb-a
          2(b-a)
          ea
          ,
          令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),則g′(x)=1+(x-1)ex
          g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g′(0)=0,
          ∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
          而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,有g(shù)(x)>g(0)=0.
          ∵當(dāng)x>0時,g(x)=x+2+(x-2)•ex>0,且a<b,
          (b-a+2)+(b-a-2)eb-a
          2(b-a)
          ea>0
          ,
          即當(dāng)a<b時,
          f(a)+f(b)
          2
          f(b)-f(a)
          b-a
          點(diǎn)評:本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程得根的個數(shù)、比較兩個實(shí)數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識,考查了分類討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法,考查了推理能力和計算能力.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•陜西)已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•陜西)已知向量
          a
          =(cosx,-
          1
          2
          ),
          b
          =(
          3
          sinx,cos2x),x∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=
          a
          b

          (Ⅰ) 求f(x)的最小正周期.
          (Ⅱ) 求f(x)在[0,
          π
          2
          ]上的最大值和最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•陜西)已知動點(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.
          (Ⅰ) 求動點(diǎn)M的軌跡C的方程;
          (Ⅱ) 過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn).若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•陜西)已知向量 
          a
          =(1,m),
          b
          =(m,2),若
          a
          b
          ,則實(shí)數(shù)m等于( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•陜西)已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.
          (Ⅰ) 求f(x)的反函數(shù)的圖象上的點(diǎn)(1,0)處的切線方程;
          (Ⅱ) 證明:曲線y=f(x)與曲線y=
          1
          2
          x
          2
          +x+1
          有唯一公共點(diǎn).
          (Ⅲ) 設(shè)a<b,比較f(
          a+b
          2
          )與
          f(b)-f(a)
          b-a
          的大小,并說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案