Question

（2013•陜西）已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的反函數(shù)的圖象上的點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（Ⅱ） 證明：曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x2+x+1有唯一公共點(diǎn)．
（Ⅲ） 設(shè)a＜b，比較f（

a+b

2

）與

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其反函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可；
（II）令h（x）=f（x）-(

1

2

x2+x+1)=ex-

1

2

x2-x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出；
（III）利用作差法得 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，構(gòu)造函數(shù)，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明．

解答：（I）解：函數(shù)f（x）=e^x的反函數(shù)為g（x）=lnx，
∵g′(x)=

1

x

，∴g^′（1）=1，
∴f（x）的反函數(shù)的圖象上的點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y-0=1×（x-1），即y=x-1；
（Ⅱ）證明：令h（x）=f（x）-(

1

2

x2+x+1)=ex-

1

2

x2-x-1，
則h^′（x）=e^x-x-1，
h^′′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，h^′′（x）＞0，h^′（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，h^′′（x）＜0，h^′（x）單調(diào)遞減，
故h^′（x）在x=0取得極小值，即最小值，
∴h^′（x）≥h^′（0）=0，
∴函數(shù)y=h（x）在R上單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)，
而x=0時(shí)，滿(mǎn)足h（0）=0，是h（x）的一個(gè)零點(diǎn)．
所以曲線y=f（x） 與曲線y=

1

2

x2+x+1有唯一公共點(diǎn)（0，1）．
（Ⅲ） 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），則g^′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g^′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g^′（0）=0，
∴g^′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）g（x）＞0．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea＞0，
即當(dāng)a＜b時(shí)，f(

a+b

2

)＞

f(b)-f(a)

b-a

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程得根的個(gè)數(shù)、比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．