Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，又切點(diǎn)為，可得切線方程；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確認(rèn)極值點(diǎn)，從而確定最大值；（Ⅲ）由，所以對任意，等價于，由（Ⅱ），的最大值為，故，所以，對任意恒成立．

試題解析：（Ⅰ）由，得，

，所以，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅱ），，所以．

令得，，因此當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減．

所以在處取得極大值，也是最大值．的最大值為．

（Ⅲ）證明：因為，所以，，等價于．

由（Ⅱ）知的最大值為，故，

只需證明時，成立，這顯然成立．

所以，因此對任意，．