Question

若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對(duì)滿足x²+y²+z²=1的一切實(shí)數(shù)x、y、z恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²求出x+2y+2z的最大值，再解關(guān)于a的絕對(duì)值不等式即可．

解答：解：由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，當(dāng)且僅當(dāng)

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即 x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

時(shí)，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，對(duì)滿足x²+y²+z²=1的一切實(shí)數(shù)x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即實(shí)數(shù)的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
故答案為：a≥4或a≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查柯西不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．