Question

已知2^x≤16且log2x≥

1

2

，
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數(shù)f(x)=log2(

x

2

)•log

2

(

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）分別利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得x的范圍，再取交集即可；
（2）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)對f（x）進(jìn)行化簡，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于log₂x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的最值，注意x的范圍；

解答：解：（1）因?yàn)?^x≤16=2⁴，所以x≤4；
又log2x≥

1

2

=log22

1

2

，所以x≥

2

，
故所求x的取值范圍是

2

≤x≤4； 
（2）f(x)=log2(

x

2

)•log

2

(

x

2

)=(log2x-1)•(log

2

x

-log

2

2)
=（log₂x-1）•（log₂x-2）=(log2x)2-3log2x+2
=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，
由已知

1

2

≤log2x≤2，
所以，當(dāng)log2x=

3

2

，即x=2

2

時(shí)，f（x）取得最小值-

1

4

；
當(dāng)log2x=

1

2

，即x=

2

時(shí)，f（x）取得最大值

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．