Question

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并判斷f（x）的奇偶性；
（2）如果x＞0時(shí)，有f（x）＜0，試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，若f(1)=-

1

2

，試求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）賦值法：令x=y=0可求得f（0），再令y=-x即可判定其奇偶性；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），由x＞0時(shí)，有f（x）＜0可得f（x₂）與f（x₁）的大小關(guān)系，由單調(diào)性定義即可判定單調(diào)性；
（3）由（2）知f（x）為在[-2，6]上為減函數(shù)，從而可判斷其最值在端點(diǎn)處取得，再由f(1)=-

1

2

及已知條件即可得到答案；

解答：解：（1）令x=y=0得f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
又x∈R，所以f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），
有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）由（2）知f（x）為在[-2，6]上為減函數(shù)．
∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-

1

2

)=-3．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查抽象函數(shù)最值的求法，考查學(xué)生解決問題的能力．