Question

已知函數(shù)f（x），當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（x）+f（-x）=0；
（2）若f（-3）=a，試用a表示f（24）；
（3）如果x∈R時，f（x）＜0，且f(1)=-

1

2

，試求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0得f（0），再令y=-x得f（-x）=-f（x）變形．
（2）由（1）知得f（3）=-a，再由f（24）=f（3+3++3）=8f（3）求解．
（3）要求最大值，必須先證單調(diào)性，又能是抽象函數(shù)，則單調(diào)性定義進行證明．設(shè)x₁＜x₂，則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）在R上是減函數(shù)，得到結(jié)論．

解答：解：（1）令x=y=0得f（0）=0，再令y=-x得f（-x）=-f（x），
∴f（-x）+f（x）=0．
（2）由f（-3）=af（3）=-a，∴f（24）=f（3+3++3）=8f（3）=-8a．
（3）設(shè)x₁＜x₂，則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在R上是減函
數(shù)，∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-

1

2

)=-3．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)中賦值法研究奇偶性，求值以及用定義法研究函數(shù)的單調(diào)性．