Question

如圖，已知橢圓C：，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P的坐標，通過，推出m，n與P的坐標的關系，推出定圓的方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，得到x₁，x₂的關系．求出MN的距離以及O到直線MN的距離，然后證明△OMN的面積是否為定值．
解答：解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
設P（x，y），則．由，得，
所以，即．故點Q（m，n）在定圓上．…（8分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則．
平方得，即．…（10分）
因為直線MN的方程為（x₂-x₁）y-（y₂-y₁）x+x₁y₂-x₂y₁=0，
所以O到直線MN的距離為，…（12分）
所以△OMN的面積S=MN•l=|x₁y₂-x₂y₁|=
==．
故△OMN的面積為定值1．…（16分）
點評：本題考查圓的方程的求法，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，考查轉化思想計算能力．