Question

（2012•梅州一模）如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過點A的動直線l與橢圓C相交于PQ兩點，且

AP

•

AQ

=0．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定圓M的圓心與半徑，利用直線AF與圓M相切，根據(jù)點到直線的距離公式，求得幾何量，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AP的方程為y=kx+1，則直線AQ的方程為y=-

1

k

x+1(k≠0)，分別與橢圓C的方程聯(lián)立，求得P、Q的坐標(biāo)，可得直線l的方程，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：將圓M的一般方程x²+y²-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圓M的圓心為M（3，1），半徑r=

3

由A（0，1），F(xiàn)（c，0）（c=

a2-1

），得直線AF：

x

c

+y=1，即x+cy-c=0，
由直線AF與圓M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，∴c²=2
∴a²=c²+1=3，∴橢圓C的方程為C：

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）證明：∵

AP

•

AQ

=0，∴AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，
由A（0，1）可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1，則直線AQ的方程為y=-

1

k

x+1(k≠0)
將y=kx+1代入橢圓C的方程，整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或x=-

6k

1+3k2

，因此P的坐標(biāo)為（-

6k

1+3k2

，-

6k2

1+3k2

+1），
即P（-

6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

）
將上式中的k換成-

1

k

，得Q（

6k

3+k2

，

k2-3

k2+3

）
∴直線l的斜率為

k2-3 k2+3 - 1-3k2 1+3k2

6k 3+k2 + 6k 1+3k2

=

k2-1

4k

直線l的方程為y=

k2-1

4k

（x-

6k

3+k2

）+

k2-3

k2+3

化簡得直線l的方程為y=

k2-1

4k

x-

1

2

，因此直線l過定點N（0，-

1

2

）．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．