Question

已知實數x，a₁，a₂，y成等差數列，x，b₁，b₂，y成等比數列，則

(a1+a2)2

b1b2

的取值范圍是（　　）

• A、[4，+∞）
• B、（-∞，-4]∪[4，+∞）
• C、（-∞，0]∪[4，+∞）
• D、不能確定

Answer 1

分析：利用實數x，a₁，a₂，y成等差數列，實數x，b₁，b₂，y成等比數列，可得x+y=a₁+a₂，xy=b₁b₂，利用基本不等式，即可求得結論，注意討論xy的符號．

解答：解：∵實數x，a₁，a₂，y成等差數列，實數x，b₁，b₂，y成等比數列，
∴x+y=a₁+a₂，xy=b₁b₂，
則

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2．
當xy＞0時，

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2≥2

x y × y x

+2=4，當且僅當x=y時取等號
當xy＜0時，

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2≤-2

x y × y x

+2=0，當且僅當x=y時取等號
綜上所述，

(a1+a2)2

b1b2

的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．
故選C．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意均值不等式的合理運用．