Question

【題目】已知數(shù)列的前n項和為，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）記.若對任意正整數(shù)n，恒成立，求k的取值范圍；

（3）已知集合.若以a為首項，a為公比的等比數(shù)列前n項和記為，問是否存在實數(shù)a，使得對于任意的均有.若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由題意結(jié)合數(shù)列與的關(guān)系可得，進(jìn)而可得是以為首項，公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式即可得解；

（2）由題意結(jié)合無窮等比數(shù)列的各項和公式可得，轉(zhuǎn)化條件為恒成立，按照n是偶數(shù)、n是奇數(shù)分類，根據(jù)單調(diào)性與極限求得的最小值即可得解；

（3）由題意，按照、分類；當(dāng)時，由不成立可排除；當(dāng)時，由單調(diào)性結(jié)合極限可得，進(jìn)而可得，即可得解.

（1）由題意知，當(dāng)時，兩式相減變形得：.

又時，即，于是，

故數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，

；

（2）由題意，，

所以恒成立，

當(dāng)n是偶數(shù)時，是n的增函數(shù)，于是，故，

當(dāng)n是奇數(shù)時，是n的減函數(shù)，因為，故，

綜上所述，k的取值范圍是；

（3）由題意，

①當(dāng)時，，

，若，則，

得，此不等式組的解集為空集，

即當(dāng)時，不存在滿足條件的實數(shù)a；

②當(dāng)時，，

而是關(guān)于n的增函數(shù)，，

且，故，

因此對任意的，要使，只需，解得；

綜上，a的取值范圍為.