Question

已知圓M過(guò)A（1，-1），B（-1，1）兩點(diǎn)，且圓心M在x+y-2=0上．
（1）求圓M的方程；
（2）點(diǎn)C（x，y）是圓M上任意一點(diǎn)，求

y-1

x+1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心為（a，b）且半徑為r，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、r的方程組，解之即可得到圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由直線(xiàn)的斜率公式，可得

y-1

x+1

=k表示B、C兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率．因此將點(diǎn)C在圓M上運(yùn)動(dòng)并觀(guān)察直線(xiàn)BC傾斜角的變化，利用直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系加以計(jì)算，即可得到

y-1

x+1

的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)圓M的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根據(jù)題意得

a+b-2=0 (1-a)2+(-1-b)2=r2 (-1-a)2+(1-b)2=r2

，解之得a=b=1且r=2，
∴圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1），而C（x，y），
∴由直線(xiàn)的斜率公式，可得

y-1

x+1

=k表示B、C兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率．
當(dāng)點(diǎn)C在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀(guān)察直線(xiàn)BC斜率的變化，
可得直線(xiàn)BC的傾斜角α可以是銳角、直角或鈍角，即在[0，π）內(nèi)變化
∴k=tanα∈（-∞，+∞），即直線(xiàn)BC的斜率為任意實(shí)數(shù)．
因此，

y-1

x+1

的取值范圍為（-∞，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓M滿(mǎn)足的條件，求圓M的方程并討論直線(xiàn)的斜率取值范圍．著重考查了直線(xiàn)的基本量與基本形式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．