Question

已知圓M過(guò)A（1，-1），B（-1，1）兩點(diǎn)，且圓心M在x+y-2=0上．
（1）求圓M的方程；
（2）點(diǎn)C（x，y）是M上任意一點(diǎn)，求

y-5

x-1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心為（a，b）且半徑為r，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、r的方程組，解之即可得到圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D（1，5），由直線的斜率公式得

y-5

x-1

=k表示C、D兩點(diǎn)連線的斜率．根據(jù)直線CD與圓M有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的不等式，解出k的范圍即可得到

y-5

x-1

的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)圓M的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根據(jù)題意得

a+b-2=0 (1-a)2+(-1-b)2=r2 (-1-a)2+(1-b)2=r2

，解之得a=b=1且r=2，
∴圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，5），而C（x，y），
∴由直線的斜率公式，可得

y-5

x-1

=k表示C、D兩點(diǎn)連線的斜率．
設(shè)直線CD的方程為y-5=k（x-1），即kx-y-k+5=0．
∵直線CD與圓M有公共點(diǎn)，∴圓心到直線CD的距離小于或等于半徑，
即d=

|k-1-k+5|

k2+1

≤2，解之得k≥

3

或k≤-

3

∴直線CD的斜率k∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．
因此，

y-5

x-1

的取值范圍為（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓M滿足的條件，求圓M的方程并討論直線的斜率取值范圍．著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．