Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若a＞0，且方程f（x）+a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)f（x）=-x³+2x²-x，得f′（x）=-3x²+4x-1當(dāng)x=2時(shí)y=-2，得切點(diǎn)為（2，-2）得切線的斜率k=-5
（2）設(shè)g（x）=f（x）+a，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，利用極大值大于0，極小值小于0即可解出參數(shù)的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)f（x）=-x³+2x²-x，
所以f′（x）=-3x²+4x-1
當(dāng)x=2時(shí)y=-2，所以切點(diǎn)為（2，-2）
所以切線的斜率k=f′（2）=-5．
所以切線方程為5x+y-8=0．
（2）設(shè)g（x）=f（x）+a=-x³+2ax²-a²x+a
所以g′（x）=-3x²+4ax-a²=-（x-a）（3x-a）
令g′（x）＜0得
因?yàn)閍＞0所以x＞a或x＜

a

3

所以g（x）在（-∞，

a

3

），（a，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，在（

a

3

，a）上是單調(diào)增函數(shù)．
因?yàn)榉匠蘥（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以只需g（

a

3

）＜0且g（a）＞0即可．
解得a＞

3 3

2

所以a的取值范圍為（

3 3

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的方法是利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率再求出切點(diǎn)即可，而解決方程有解問(wèn)題時(shí)一般先轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用最值求出參數(shù)的范圍即可，高考考查的重點(diǎn)．