Question

已知函數(shù)．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}滿足，，求證：對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）知：，由此能求出．
（2）由b_n+1=（1+b_n）²•，知b_n+1=b_n（b_n+1），故=，由此利用裂項(xiàng)求法能夠證明對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有＜2．
解答：（1）解：∵，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），
∴，…1分
=，…..3分
=1，…5分
∴{}是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
即，
∴．…6分
（2）證明：由已知得b_n+1=（1+b_n）²•，
∴b_n+1=b_n（b_n+1），顯然b_n∈（0，+∞），…7分
∴=====，…9分
∴
=（）+（）+…+（）
=
=2-＜2．…11分
所以，對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有＜2．…12分
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．