Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的焦距為2，且離心率為 ．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0， ）且斜率為k的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q． （Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量 與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得橢圓方程為 ，

且2c=2， ，∴c=1，a= ，b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓方程為： ；

（2）解：（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為 ，

代入橢圓方程得 ．

整理得 ，①

直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于 ，

解得 或 ．

即k的取值范圍為 ；

（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ，

由方程①，得 ．②

又 ．③

而 ．

∴ 與 共線等價(jià)于 ，

將②③代入上式，解得 ．

由（1）知 或 ，

故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k

【解析】（1）由題意設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，且求得c，a的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）（Ⅰ）寫(xiě)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式大于0求得k的范圍；（Ⅱ）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和，結(jié)合 與 共線求得k值，與（1）中求出的k的范圍矛盾．