Question

已知函數(shù)f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ，x∈R，0＜φ＜π，f（

π

4

）=-

3

2

．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，α∈（

π

2

，π），求cosα的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，根據(jù)f（

π

4

）=-

3

2

．化簡函數(shù)解析式，得到Φ=

5π

6

，然后，求解函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，得到sin（α+

π

6

）=

5

13

，然后，利用角的拆分進行求值．

解答： 解：（1）∵f（

π

4

）=-

3

2

．
∴sin

π

2

cosΦ+cos

π

2

sinΦ=-

3

2

．
∴cosΦ=-

3

2

．
∵0＜φ＜π，
∴Φ=

5π

6

，
∴f（x）=sin2xcos

5π

6

+cos2xsin

5π

6

=sin（2x+

5π

6

）．
∴f（x）的表達式f（x）=sin（2x+

5π

6

）；
（2）∵f（

α

2

-

π

3

）=sin[2（

α

2

-

π

3

）+

5π

6

]=

5

13

，
∴sin（α+

π

6

）=

5

13

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴（α+

π

6

）∈（

2π

3

，

7π

6

），
∴cos（α+

π

6

）=-

12

13

，
∴cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]=

5-12 3

26

．

點評：本題重點考查了三角公式、兩角和與差的三角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．