Question

若過點(diǎn)A（a，a）可作圓x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，-3）∪（1，

3

2

）

．

Answer 1

分析：把已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心P的坐標(biāo)和圓的半徑r，并根據(jù)二元二次方程構(gòu)成圓的條件可得a的范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AP|的值，由過A可作圓的兩條切線，得到點(diǎn)A在圓P外，可得|AP|的值大于圓的半徑r，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集，與求出的a的范圍求出并集，可得滿足題意a的取值范圍．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-a）²+y²=3-2a，
可得圓心P坐標(biāo)為（a，0），半徑r=

3-2a

，且3-2a＞0，即a＜

3

2

，
由題意可得點(diǎn)A在圓外，即|AP|=

(a-a)2+(a-0)2

＞r=

3-2a

，
即有a²＞3-2a，整理得：a²+2a-3＞0，即（a+3）（a-1）＞0，
解得：a＜-3或a＞1，又a＜

3

2

，
可得a＜-3或 1＜a＜

3

2

，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）∪（1，

3

2

）
故答案為：（-∞，-3）∪（1，

3

2

）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，二元二次方程構(gòu)成圓的條件，以及不等式的解法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系由這點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系來確定：當(dāng)d=r，點(diǎn)在圓上；d＞r，點(diǎn)在圓外；d＜r，點(diǎn)在圓內(nèi)．