Question

(本題12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，其焦點(diǎn)在圓上．
⑴求橢圓的方程；
⑵設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，且存在銳角，使．
①試求直線與的斜率的乘積；
②試求的值．

Answer 1

(1) ．(2) (i) ，
(ii)=．

(1)易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(1,0),再根據(jù)離心率求出a,進(jìn)而求出b的值.從而確定橢圓的方程.
(2)設(shè)，設(shè),因，
故,再根據(jù)M在橢圓上，可得,
然后再利用點(diǎn)A、B在橢圓上這個(gè)條件，得到兩個(gè)方程，以此對(duì)上面的方程化簡(jiǎn)，可求出直線與的斜率的乘積.
(ii) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223703523681.png" style="vertical-align:middle;" />=,然后可以根據(jù)（i）的結(jié)論，得到,
從而,又因，所以.問(wèn)題到此得以解決.
(1)依題意得, 于是． 
所以所求橢圓的方程為．
(2) (i)設(shè)，則   ①
   ②．
又設(shè),因，
故
因在橢圓上，
故
整理得：
將①②代入上式，并由得
所以
(ii)，
故
又
故
所以，=．