Question

已知圓O：x²+y²=1，點O為坐標原點，一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切并與橢圓

x2

2

+y2=1交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）設b=f（k），求f（k）的表達式，并注明k的取值范圍；
（Ⅱ）若

OA

•

OB

=

2

3

，求直線l的方程；
（Ⅲ）若

OA

•

OB

=m（

2

3

≤m≤

3

4

），求△OAB面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知b=

k2+1

（b＞0），由此可知f(k)=

k2+1

 (k∈R， k≠0)．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，再由根的判別式和根與系數的關系可以求出直線l的方程．
（Ⅲ）由題設知

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，所以

1

2

≤k2≤1，再由弦長公式，求出|AB|的長，用點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，由此可以導出△OAB面積S的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）與圓x²+y²=1相切，則

|b|

1+k2

=1，
即b²=k²+1，k≠0，所以b=

k2+1

（b＞0）
∴f(k)=

k2+1

 (k∈R， k≠0)（3分）

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，消去y
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0
∴x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

（5分）
從而

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

k2+1

2k2+1

=

2

3

，∴k=±1
∴b=

k2+1

=

2

（7分）
∴直線l的方程為：±x-y+

2

=0．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

k2+1

2k2+1

=m，又

2

3

≤m≤

3

4

∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

?

1

2

≤k2≤1（10分）
由弦長公式，得|AB|=

k2+1

•

2 2k2

2k2+1

=

2k2(k2+1)

2k2+1

又點O到直線AB的距離d=

|b|

k2+1

=

b

k2+1

=1
∴S=

1

2

|AB|•d=

2k2(k2+1)

2k2+1

（12分）S2=

2k4+2k2

4k4+4k2+1

=

1

2

-

1

2(2k2+1)2

(

1

2

≤k2≤1)
∴

6

4

≤S≤

2

3

（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和綜合應用，解題時要注意弦長公式、點到直線的距離公式的靈活運用．