Question

對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	25	a
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合計	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及圖中a的值；
（Ⅱ）若該校高一學(xué)生有360人，試估計該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析：（I）利用統(tǒng)計中，頻率=

頻數(shù)

樣本容量

求出表中的M，利用頻數(shù)和為M求出m，利用頻率分布直方圖中頻率=縱坐標(biāo)×組距求出a的值．
（II）利用頻率=

頻數(shù)

樣本容量

，求出參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)．
（III）先利用頻率=

頻數(shù)

樣本容量

求出參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生人數(shù)，利用列舉的方法求出從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人的情況，列舉出至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的人數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出概率．

解答：解：（Ⅰ）由分組[10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，

10

M

=0.25，
所以M=40．
因為頻數(shù)之和為40，所以10+25+m+2=40，m=3.p=

3

M

=

3

40

．
因為a是對應(yīng)分組[15，20）的頻率與組距的商，所以a=

25

40×5

=0.125
（Ⅱ）因為該校高三學(xué)生有360人，分組[10，15）內(nèi)的頻率是0.25，
所以估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù).360×0.25=90人．
（Ⅲ）這個樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有3+2=5人，
設(shè)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的人為{a₁，a₂，}，在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人為{b₁，b₂}．
則任選2人共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）10種情況，
而兩人都在[20，25）內(nèi)共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃）3種，
至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率.p=1-

3

10

=

7

10

點(diǎn)評：在解決頻率分布直方圖的問題時，要注意直方圖中的縱坐標(biāo)，直方圖中求頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距；求事件的概率時，一個先判斷事件是什么概型，再選擇合適的概率公式．