Question

（理）已知f（x）=ax++2-2a（a＞0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
（I）求a，b滿足的關(guān)系式；
（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（III）證明：…+＞（n∈N₊）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b滿足的關(guān)系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax++2-2a，構(gòu)造新函數(shù)g（x）=f（x）-2lnx=ax++2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）則g（1）=0，g′（x）=，比較對應(yīng)方程根的大小，進(jìn)行分類討論，即可求得a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立，再取a=1得，令1，從而可得，進(jìn)而可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得，根據(jù)題意f′（1）=a-b=2，即b=a-2    …3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）=ax++2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax++2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
則g（1）=0，g′（x）=
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，，
若1＜x＜，則g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）減函數(shù)，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1時(shí)，，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函數(shù)，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
綜上所述，所求a的取值范圍是[1，+∞）     …8分
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立．
取a=1得，令1得，
即
所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n個(gè)不等式相加得到…+＞（n∈N₊）…13分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題．