Question

（2012•安徽模擬）（理）已知f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
（I）求a，b滿足的關系式；
（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（III）證明：1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

＞

1

2

(2n+1)+

n

2n+1

（n∈N₊）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b滿足的關系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，構造新函數(shù)g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）則g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

，比較對應方程根的大小，進行分類討論，即可求得a的取值范圍；
（Ⅲ）當a≥1時，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立，再取a=1得x-

1

x

≥2lnx，令x=

2n+1

2n-1

＞1，從而可得

1

2n-1

＞

1

2

ln

2n+1

2n-1

+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，進而可得結論．

解答：（Ⅰ）解：求導函數(shù)，可得f′(x)=a-

b

x2

，根據(jù)題意f′（1）=a-b=2，即b=a-2    …3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
則g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

①當0＜a＜1時，

2-a

a

＞1，
若1＜x＜

2-a

a

，則g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）減函數(shù)，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1時，

2-a

a

≤1，當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函數(shù)，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
綜上所述，所求a的取值范圍是[1，+∞）     …8分
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知當a≥1時，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立．
取a=1得x-

1

x

≥2lnx，令x=

2n+1

2n-1

＞1得

2n+1

2n-1

-

2n-1

2n+1

＞2ln

2n+1

2n-1

，
即

2

2n-1

-

2

2n+1

＞2ln

2n+1

2n-1

所以

1

2n-1

＞

1

2

ln

2n+1

2n-1

+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
上式中n=1，2，3，…，n，然后n個不等式相加得到1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

＞

1

2

ln(2n+1)+

n

2n+1

（n∈N₊）…13分．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求出導函數(shù)，構造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題．