Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，點F為B₁C₁中點．
（Ⅰ） 求證：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）求點F到平面A₁ED的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，易證DE⊥AE，從而可證DE⊥平面A₁AEF，由面面垂直的判斷定理即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）利用三棱錐的輪換體積公式VF-A1ED=VD-A1FE即可求得點F到平面A₁ED的距離．

解答：證明：（Ⅰ）依題意知，△ABE為等邊三角形，所以AE=AB=2，
在等腰三角形ECD中，EC=CD=2，∠ECD=120°，
∴由余弦定理可知，DE=2

3

；
在△AED中，AD=4，AE=2，DE=2

3

，AD²=AE²+DE²，
∴DE⊥AE；
又AA₁⊥底面ABCD，
∴AA₁⊥DE，又AA₁∩AE=A，
∴DE⊥平面A₁AEF，DE?平面A₁ED，
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）設(shè)點F到平面A₁ED的距離為h，則VF-A1ED=

1

3

S△A1ED•h=

1

3

×

1

2

DE•A₁E•h=

1

3

×

1

2

×2

3

×2

5

•h；
又VD-A1FE=

1

3

S△A1FE•DE=

1

3

×

1

2

EF•A₁F•DE=

1

3

×

1

2

×4×2×2

3

；
∵VF-A1ED=VD-A1FE，
∴

1

3

×

1

2

×2

3

×2

5

•h=

1

3

×

1

2

×4×2×2

3

，
∴h=

4

5

=

4 5

5

．

點評：本題考查線面垂直的判定與平面與平面垂直的判定，考查點、線、面間的距離計算，考查推理與證明的能力，屬于中檔題．