Question

（2013•泉州模擬）如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅰ）從下列①②③三個條件中選擇一個做為AC⊥BD₁的充分條件，并給予證明；
①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四邊形．
（Ⅱ）設(shè)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都為1，且∠BAD為銳角，求平面BDD₁與平面BC₁D₁所成銳二面角θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使AC⊥BD₁，只需AC⊥平面BDD₁，易知DD₁⊥AC．故只需滿足條件②即可；
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=0，O₁為B₁D₁的中點(diǎn)，易證OO₁、AC、BD交于同一點(diǎn)O且兩兩垂直．以O(shè)B，OC，OO₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m²+n²=1，根據(jù)法向量的性質(zhì)求出平面BC₁D₁的一個法向量

n

，又

AC

=（0，2m，0）是平面BDD₁的一個法向量，則cosθ=

| n • AC |

| n || AC |

，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算表示出來，然后借助函數(shù)的性質(zhì)即可求得其范圍；

解答：解：（Ⅰ）條件②AC⊥BD，可作為AC⊥BD₁的充分條件．
證明如下：
∵AA₁⊥平面ABCD，AA₁∥DD₁，∴DD₁⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC．
若條件②成立，即AC⊥BD，
∵DD₁∩BD=D，∴AC⊥平面BDD₁，
又BD₁?平面BDD₁，∴AC⊥BD₁．
（Ⅱ）由已知，得ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
設(shè)AC∩BD=0，O₁為B₁D₁的中點(diǎn)，
則OO₁⊥平面ABCD，
∴OO₁、AC、BD交于同一點(diǎn)O且兩兩垂直．
以O(shè)B，OC，OO₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示．
設(shè)OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m²+n²=1，
則A（0，-m，0），B（n，0，0），C（0，m，0），C₁（0，m，1），D₁（-n，0，1），

BC1

=（-n，m，1），

BD1

=（-2n，0，1），
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面BC₁D₁的一個法向量，
由

n • BC1 =0 n • BD1 =0

得

-xn+ym+z=0 -2xn+z=0

，令x=m，則y=-n，z=2mn，
∴

n

=（m，-n，2mn），
又

AC

=（0，2m，0）是平面BDD₁的一個法向量，
∴cosθ=

| n • AC |

| n || AC |

=

2mn

m2+n2+4m2n2 •2m

=

n

1+4m2n2

=

n2 1+4m2n2

，
令t=n²，則m²=1-t，∵∠BAD為銳角，
∴0＜n＜

2

2

，則0＜t＜

1

2

，cosθ=

t 1+4t(1-t)

=

1 1 t -4t+4

，
因?yàn)楹瘮?shù)y=

1

t

-4t在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減，∴y=

1

t

-4t＞0，
所以0＜cosθ＜

1

2

，
又0＜θ＜

π

2

，∴

π

3

＜θ＜

π

2

，即平面BDD₁與平面BC₁D₁所成角的取值范圍為（

π

3

，

π

2

）．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．