Question

（2013•泉州模擬）如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e₁；以C，D為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e₂，則e₁+e₂的取值范圍為 （　　）

• A．[2，+∞）
• B．（

  5

  ，+∞）
• C．[

  3 3 +1

  2

  ，+∞）
• D．（

  5

  +1，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)余弦定理表示出BD，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得到a的值，再由AB=2c，e=

c

a

可表示出e₁，同樣表示出橢圓中的c'和a'表示出e₂的關(guān)系式，然后利用換元法求出e₁+e₂的取值范圍即可．

解答：解：BD=

AD2+AB2-2AD×ABcos∠DAB

=

1+4x

，
∴a₁=

1+4x -1

2

，c₁=1，a₂=

1+4x +1

2

，c₂=x，
∴e₁=

2

1+4x -1

，e₂=

2x

1+4x +1

，e₁e₂=1
但e₁+e₂≥2

e1e2

中不能取“=”，
∴e₁+e₂=

2

1+4x -1

+

2x

1+4x +1

=

2

1+4x -1

+

1+4x -1

2

，
令t=

1+4x

-1∈（0，

5

-1），則e₁+e₂=

1

2

（t+

4

t

），t∈（0，

5

-1），
∴e₁+e₂∈（

5

，+∞）
∴e₁+e₂的取值范圍為（

5

，+∞）．
故選B．

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．