Question

已知棱長(zhǎng)為1的正方體AC₁，E，F(xiàn)分別是B₁ C₁和C₁D₁的中點(diǎn)

（1）求點(diǎn)A₁到平面BDFE的距離

（2）求直線(xiàn)A₁D與平面BDFE所成的角

Answer 1

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，則B（1，1，0），E（1/2，1，1），F(xiàn)（0，1/2，1），設(shè)=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由⊥，⊥，=（1，1，0），=（0，1/2，1）得：  ·= x+y=0      ·=1/2 y+ z=0

所以：x= - y    z= - y/2    令y=1，得=（-1，1，1/2），設(shè)點(diǎn)A在平面BDFE上的射影為H，連結(jié)A₁D，A₁D是平面BDFE的斜線(xiàn)段，則：     cos﹤，﹥=

所以| cos﹤，﹥=1   所以點(diǎn)A₁到平面BEFE的距離為1

（3）由（2）知∠D A₁H=45°，∠A₁DH是直線(xiàn)A₁D與平面BDFE所成角，且∠D A₁H+∠A₁DH=90°    所以∠A₁DH=45°