Question

如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，使，得到三棱錐.

（Ⅰ）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，

所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，

所以是的中位線，.                      ………………1分

因?yàn)?img width=47 height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/19/23/2011071923511716780645.files/image166.gif' >平面,平面,

所以平面.                           ………………3分

（Ⅱ）解：由題意，，

因?yàn)?img width=71 height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/19/23/2011071923511716780645.files/image092.gif' >，

所以，.  ………………4分

又因?yàn)榱庑?img width=48 height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/19/23/2011071923511716780645.files/image087.gif' >，所以，.

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

.

所以                     ………………6分

設(shè)平面的法向量為，

則有即：

令，則，所以.            ………………7分

因?yàn)?img width=137 height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/19/23/2011071923511716780645.files/image186.gif' >,所以平面.    

平面的法向量與平行，

所以平面的法向量為.                       ………………8分

，

因?yàn)槎�面�?img width=77 height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/19/23/2011071923511716780645.files/image098.gif' >是銳角，

所以二面角的余弦值為.                ……………9分

（Ⅲ）解：因?yàn)?img width=19 height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/19/23/2011071923511716780645.files/image099.gif' >是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，

則，

所以，                               ……………10分

則，，

由得，即，…………11分

解得或，                                         ……………12分

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.                           ……………13分

（也可以答是線段的三等分點(diǎn)，或）