Question

本題滿分14分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為90°，直線l過左焦點(diǎn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
△的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；（5分）
（2）求橢圓C的方程。（9分）

Answer 1

(1)，
(2)

解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為橢圓，設(shè)橢圓方程：  其焦距為，則，，則．
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：．                 ………………………5分
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，
∵，∴．                 ………………………6分
　　 ∵，， ∴．
　　　∴．（1）             ………………………8分
由方程組 得．  
由 得
則，，             ………………………11分
代入①，得．
即，解得，或． 經(jīng)驗(yàn)證。   ………………………13分
　所以，直線的方程是或．      ………………………14分