Question

【題目】如圖，某市在海島A上建了一水產(chǎn)養(yǎng)殖中心．在海岸線l上有相距70公里的B、C兩個(gè)小鎮(zhèn)，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有3百人，C鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有5百人．現(xiàn)欲在BC之間建一個(gè)碼頭D，運(yùn)送來(lái)自兩鎮(zhèn)的員工到養(yǎng)殖中心工作，又知水路運(yùn)輸與陸路運(yùn)輸每百人每公里運(yùn)輸成本之比為1：2．

（1）求sin∠ABC的大�。�
（2）設(shè)∠ADB=θ，試確定θ的大小，使得運(yùn)輸總成本最少．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，cos∠ABC= =﹣

所以sin∠ABC=

（2）解：在△ABD中，由 得：

AD= ，BD= ﹣

設(shè)水路運(yùn)輸?shù)拿堪偃嗣抗�里的費(fèi)用為k元，陸路運(yùn)輸?shù)拿堪偃嗣抗�里的費(fèi)用為2k元，

則運(yùn)輸總費(fèi)用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35+ + ﹣ ）

令H（θ= ，則H′（θ）= ．

當(dāng)0＜θ＜ 時(shí)，H′（θ）＜0，H（θ）單調(diào)減；當(dāng) ＜θ＜ 時(shí)，H′（θ）＞0，H（θ）單調(diào)增

∴θ= 時(shí)，H（θ）取最小值，同時(shí)y也取得最小值．

此時(shí)BD= ，滿足0＜ ＜70，所以點(diǎn)D落在BC之間

所以θ= 時(shí)，運(yùn)輸總成本最�。�

答：θ= 時(shí)，運(yùn)輸總成本最小

【解析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大��；（2）確定函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)方法求最值．