Question

如圖，矩形與梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，為的中點(diǎn)．

    （Ⅰ）求證：∥平面；

    （Ⅱ）求證：平面平面；

    （Ⅲ）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．

在△中，分別為的中點(diǎn)，

所以∥，且．

由已知∥，，

所以∥，且．

               所以四邊形為平行四邊形．                 ………2分

所以∥．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414580529684117/SYS201205241459297187582694_DA.files/image017.png">平面，且平面，

所以∥平面．        ………………………………4分

（Ⅱ）證明：在矩形中，．

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414580529684117/SYS201205241459297187582694_DA.files/image018.png">平面，

              且平面平面，

所以平面．

所以．                ………………………………5分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414580529684117/SYS201205241459297187582694_DA.files/image032.png">，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414580529684117/SYS201205241459297187582694_DA.files/image034.png">,所以平面．………………………7分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414580529684117/SYS201205241459297187582694_DA.files/image037.png">平面，

所以平面平面．…………………………………………8分

       

 

 

 

 

 

        （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面，且．

           以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

           ．     …………………………………9分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      易知平面的一個(gè)法向量為．…………………………10分

      設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

         因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414580529684117/SYS201205241459297187582694_DA.files/image051.png">

        所以，

        令，得．

        所以為平面的一個(gè)法向量．   …………………………12分

    設(shè)平面與平面所成銳二面角為．

    則．

       所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．………14分

 

【解析】略