Question

【題目】定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）＞1﹣f′（x），f（0）=0，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，則不等式exf（x）＞ex﹣1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
B.（0，+∞）
C.（﹣∞，0）∪（1，+∞）
D.（﹣1，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），
則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f′（x）＞1﹣f（x），
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵exf（x）＞ex﹣1，
∴g（x）＞﹣1，
又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=﹣1，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞）
故選：B．
構造函數(shù)g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．