Question

【題目】已知圓C：（x+1）2+y2=8，點A（1，0），P是圓C上任意一點，線段AP的垂直平分線交CP于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與曲線E相交于M，N兩點，O為坐標原點，求△MON面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點Q 在線段AP 的垂直平分線上，∴|AQ|=|PQ|．

又|CP|=|CQ|+|QP|=2 ，∴|CQ|+|QA|=2 ＞|CA|=2．

∴曲線E是以坐標原點為中心，C（﹣1，0）和A（1，0）為焦點，長軸長為2 的橢圓．

設曲線E 的方程為 =1，（a＞b＞0）．

∵c=1，a= ，∴b2=2﹣1=1．

∴曲線 E的方程為

（2）解：設M（x1，y1），N（x2，y2）．

聯(lián)立 消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

此時有△=16k2﹣8m2+8＞0．

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2= ，x1x2= ，．

∴|MN|= =

∵原點O到直線l的距離d= ﹣，

∴S△MON= = ． ，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．

又m≠0，

∴據(jù)基本不等式，得S△MON= ． ≤ = ，

當且僅當m2= 時，不等式取等號．

∴△MON面積的最大值為

【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出a，b即可．（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用消元法結(jié)合設而不求的思想進行求解即可．