Question

 設(shè)橢圓E： （）過，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析；（1）因?yàn)闄E圓E； （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點(diǎn)，

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為解方程組得，

即，

則△=，即

，

要使，需使，即，

所以，所以又，

所以，所以，即或，

因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，

所以圓的半徑為，，，

所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，

綜上， 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且．

因?yàn)?sub>，

所以，

， 

①當(dāng)時(shí)

因?yàn)?sub>所以，

所以，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”．

②  當(dāng)時(shí)，．

③  當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)， 兩個(gè)交點(diǎn)為或，所以此時(shí)，

綜上， |AB |的取值