Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0），O為坐標原點，
（1）橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）過M（2，

2

），N（

6

，1）兩點，求橢圓E的方程；
（2）若a＞b＞0，兩個焦點為 F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M為橢圓上一動點，且滿足

F1M

•

F2M

=0，求橢圓離心率的范圍．
（3）在（1）的條件下，是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓E的方程為：mx²+ny²=1，將M（2，

2

），N（

6

，1）兩點坐標代入，可得橢圓E的方程；
（2）設(shè)M（x，y），求出向量

F1M

與

F2M

，結(jié)合

F1M

•

F2M

=0及橢圓的性質(zhì)，可得離心率的范圍．
（3）假設(shè)存在這樣的圓，設(shè)該圓的切線為y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，知（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判別式和韋達定理能求出|AB|取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的方程為：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由由橢圓過點M、N得

4m+2n=1 6m+n=1

，解得

m= 1 8 n= 1 4

，
所以橢圓E的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）設(shè)M（x，y），

F1M

=（x+c，y），

F2M

=（x-c，y），
由

F1M

•

F2M

=0，得（x+c，y）•（x-c，y）=x²-c²+y²=0①，
又M在橢圓上，所以

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y2=b2(1-

x2

a2

)，
代入①式得x2-c2+b2(1-

x2

a2

)=0，化簡得

c2

a2

x2=c²-b²，
則有c²-b²≥0，即c≥b，
兩邊平方得c²≥b²，即c²≥a²-c²，
所以

c2

a2

≥

1

2

，解得

c

a

≥

2

2

，即e≥

2

2

．
所以橢圓離心率的范圍為：[

2

2

，1）．
（3）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

，
設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，A（ x₁，y₁），B（ x₂，y₂）．
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0（*）
則x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•

2m2-8

1+2k2

+km

-4km

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
所以3m²-8k²-8=0，所以k²=

3m2-8

8

≥0
結(jié)合（*）可得

m2＞2 3m2≥8

，解得m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=

|m|

1+k2

=

2 6

3

，
所求的圓為x²+y²=

8

3

，
而當切線的斜率不存在時切線為x=±

2 6

3

與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點為（

2 6

3

，±

2 6

3

）或（-

2 6

3

，±

2 6

3

）
滿足

OA

⊥

OB

，（其實與y軸垂直時的切線方程結(jié)果是一樣的，因為此時圓與橢圓相切）
綜上，存在圓心在原點的圓x²+y²=

8

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

．
∵|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

32(4k4+5k2+1) 3(4k4+4k2+1)

=

32 3 (1+ k2 4k4+4k2+1 )

，
①當k≠0時，|AB|=

32 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4 )

因為4k2+

1

k2

+4≥8，所以

4 6

3

＜|AB|≤2

3

（當且僅當k=±

2

2

時取”=”）．
當k=0時，|AB|=

4 6

3

．
綜上，|AB|的取值范圍為[

4 6

3

，2

3

]

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．