Question

設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，A是橢圓E上一點，AF₁⊥F₁F₂，原點到直線AF₂的距離是

1

3

|OF₁|．△AF₁F₂ 的面積是等于橢圓E的離心率e，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ），若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點，問：是否存在實數m使∠BF₂C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）表示出直線AF₂的方程，利用原點O到直線AF₂的距離為

1

3

|OF₁|，及c²=a²-b²，即可求橢圓方程；
（Ⅱ）將直線y=x+m代入

x2

2

+y2=1并化簡，利用韋達定理，結合∠BF₂C是鈍角，得

F2B

•

F2C

＜0，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設F₁（-c，0），F₂（c，0），∵AF₁⊥F₁F₂，，不妨設A（-c，y）（y＞0），
又∵點A在橢圓上，∴y=

b2

a

，從而得A（-c，

b2

a

），直線AF₂的方程為y=-

b2

2ac

(x-c)，
整理可得b²x+2acy-b²c=0，由題設，原點O到直線AF₂的距離為

1

3

|OF₁|，
即

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，將c²=a²-b²代入上式化簡得a²=2b²①
由題設

1

2

×2c×

b2

a

=

2

2

②，①②聯立得b=1，a=

2

，
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），將直線y=x+m代入

x2

2

+y2=1并化簡得3x²+4mx+2m²-2=0，由韋達定理知x₁+x₂=-

4

3

m，x₁x₂=

2

3

(m2-1)，
且△=16m²-24（m²-1）＞0，∴|m|＜

3

，
由題設∠BF₂C是鈍角，得

F2B

•

F2C

＜0．
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，
化簡可得3m²+4m-1＜0，∴

-2- 7

3

＜m＜

-2+ 7

3

，滿足|m|＜

3

，當m=-1時，B，F₂，C三點共線，
故存在m∈(

-2- 7

3

，-1)∪(-1，

-2+ 7

3

)滿足條件．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，聯立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．